TRIGONOMETRI part 2

1. Rumus Jumlah dan selisih dua sudut

    Cos α = x/r => x = r cos α

    Sin α = y/r => y = r sin α

    Koordinat kutub : P (r cos α , r sin α) 

    (cos β , sin β )

2. Jarak A (x , y) , B (x₂ , y₂) :  

     

AB² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²

        = (cos α , sin α )

        = (cos β  - cos α)² + (sin β - sin α)²

        = (cos² β - 2 cos α cos β + cos² α) + ( sin² β - 2 sin α sin β + sin² α)

        = 2 - 2 sin α sin β - 2 cos α cos β

3. ATURAN COSINUS

    

 

      

     

AB² = OA² + OB² - 2.OA.OB cos p

         =   1   +   1   - 2.1.1 cos (β - α)

              2 - 2 cos (β - α) = 2 - 2 cos β cos α - 2 sin β sin α

             Jadi, cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α

                           cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Rumus2 :

1. cos (A + B) = cos {A -(-B)}

                        = cos A cos (-B) + sin A sin (-B)

                        = cos A cos B + sin A . - sin B

                        = cos A cos B - sin A sin B

2. sin (A + B) = cos {90° - (A + B)}

                        = cos {(90° - A) - B}

                        = cos (90° - A) cos B + sin (90° - A) sin B

                        = sin A cos B + cos A sin B

3. sin (A - B) = sin {A +(-B)}

                       = sin A cos (-B) + cos A sin (-B)

                       = sin A sin B - cos A sin B

Contoh Soal : 

1. sin α = 5/13 dan cos β = 4/5

    α tumpul dan β lancip

   Tentukan nilai dari sin (α - β)!

   Jawaban : 

 

 dari gambar, cos α = -12/13

                         sin β = 3/5                                                                                            

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β 

                  = 5/13 . 4/5 - (-12/13) . 3/5

                  = 20/65 + 36/65 

                  = 56/65

4. RUMUS TAN (α ± β) 

     a. tan (α + β)

         = sin (α + β) / cos (α + β)

         = (sin α cos β + cos α sin β) / (cos α cos β - sin α sin β)

         = {(sin α cos β) / (cos α cos β)} + {(cos α cos β) / (cos α cos β)}

            {(cos α cos β) / (cos α cos β)} - {(sin α cos β) / (cos α cos β)}

         =  tan α + tan β

            1 - tan α tan β

      Jadi, tan (α + β) =  tan α + tan β

                                       1 - tan α tan β

                tan (α - β)  = tan α - tan β

                                      1 + tan α tan β

Contoh Soal :

1. Jika sin A = 3/s dan cos B = 12/13

    < A di kuadran II dan < B di kuadran I

   Tentukan nilai dari tan (A + B)

   Jawaban :

dari gambar, maka tan A = -3/5                                                                                          dari gambar maka tan B = 5/12 

maka, tan (A + B) = tan A + tan B
                                 1 - tan A tan B
                                =    -3/4 + 5/12    
                                    1 - (-3/4) . 5/12
                                =   -4/12
                                     21/16  
                                =  -16/63

5. Rumus Fungsi Trigonometri Sudut Rangkap 

*  α + β + γ = 180°

*  α + β = 180° - γ

a. Sin 2A = Sin (A + A)

                = Sin A cos A + Cos A Sin A

    Jadi, Sin 2A = 2 Sin A Cos A  

b. Cos 2A = Cos (A + A)

                 = Cos A cos A - Sin A Sin A

    Jadi, Cos 2A = Cos² A - Sin² A  

c. Tan 2A = Tan (A + A)

                 =  Tan A + Tan A

                    1 - Tan A Tan A

    Jadi, Tan 2A =       2 Tan A       

                             1 - Tan A Tan A 

1. Sin (A + B) = Sin A Cos B + Cos A Sin B

2. Sin (A - B)  = Sin A Cos B - Cos A Sin B 

(+) Sin (A + B) + Sin (A - B) = 2 Sin A Cos B   ...(1)

 (-) Sin (A + B) - Sin (A - B)  = 2 Cos A Sin B   ...(2)

1. Cos (A + B) = Cos A Cos B - Sin A Sin B

2. Cos (A - B)  = Cos A Cos B + Sin A Sin B

(+) Cos (A + B) + Cos (A - B) = 2 Cos A Cos B   ...(3)

 (-) Cos (A + B) + Cos (A - B) = -2 Sin A Sin B   ...(4)

Jadi, diperoleh :

1. Sin (A + B) + Sin (A - B) = 2 Sin A Cos B

2. Sin (A + B) - Sin (A - B)  = 2 Cos A Sin B

3. Cos (A + B) + Cos (A - B) = 2 Cos A Cos B

4. Cos (A + B) + Cos (A - B) = -2 Sin A Sin B

* A + B = C                                 * A + B = C

   A - B  = D +                                 A - B = D -

        2A = C + D                                 2B = C - D

          A = C + D                                   B = C - D

                    2                                                 2

Maka,
1. Sin C + Sin D    = 2 Sin C + D Cos C - D
                                                   2                2
2. Sin C - Sin D     = 2 Cos C + D sin C - D
                                                   2                2
3. Cos C + Cos D   = 2 Cos C + D Cos C - D
                                                    2                 2
4. Cos C - Cos D    = -2 Sin C + D Sin C - D
                                                    2                 2