PERSAMAAN KUADRAT

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat dalam x => ax² + bx + c =o  (a,b,c  € R) dan a ≠ 0 

Cara menyelesaikan persamaan kuadrat ada 3, yaitu :

1. Memfaktorkan => (x-a) (x-b) = 0

    Contoh :

    a. X² + 12x +32 = 0 => (x + 4) ( x + 8)

    b. X²  + x – 56   = 0 => (x + 8) (x – 7)

    c. X² -6x – 27    = 0 => (x – 9) (x + 3)

    d. 2x² – 5x – 3   = 0 => (2x – 1) (x + 3)

    e. 3x² – 6x         = 0 => 3x(x – 2)

2. Melengkapi Kuadrat Sempurna => (x - p)² = q

      Ada beberapa langkah, yaitu :

      1.  Koefisien x² harus 1

      2. Konstanta pindah ke ruas kanan {-> x² + mx = n

      3. Diubah ke bentuk kuadrat sempurna (x + p)² = q

   

    Contoh :

    a. x² + 8x + 12            = 0

        x² + 8x                     = -12

        x² + 8x + (1/2 . 8)² = -12 + (1/2 . 8)²

        x²   + 8x + 16          = -12 + 16

               (x + 4)²             = 4

                x + 4                = ±√4

                      x                 = -4 ± 2

                      x                 = -6 , -2

3. RUMUS ABC => x_1,2 = { -b ± √(b² - 4ac) } / 2a

   Contoh :

    a. x² + 8x + 5 => x_1,2 = { -8 ± √(8² – 4.1.5) } / 2.1

                                          = { -8 ± √(64 – 20) } / 2

                                          = ( -8 ± √39 ) / 2

Penjumlahan dan Pekalian akar2 Penyelesaian Persamaan Kuadrat
dari x_1,2 = { -b ± √(b² - 4ac) } / 2a dengan D = b² - 4ac maka x₁ = (-b + √D) / 2a dan x₂ = (-b - √D) / 2a
* D adalah Deskriminan

1. x₁ + x₂ = {(-b + √D) / 2a} + {(-b - √D) / 2a}

                    = (-b + √D - b - √D) / 2a

                    = -2b / 2a

                    = -b /a
Jadi, x₁ + x₂ = -b/a

2. x₁ - x₂ = {(-b + √D) / 2a} - {(-b - √D) / 2a}

                  = (-b + √D + b + √D) / 2a

                  = 2√D / 2a

                  = √D /a

Jadi, x₁ - x₂ = √D/a

3. x₁ . x₂ = {(-b + √D) / 2a} {(-b - √D) / 2a}

                  = (b² - D) / 4a²

                  = b² - (b² - 4ac) / 4a²

                  = (b² - b² + 4ac) / 4a²

                  = 4ac / 4a²

                  = c/a

Jadi, x₁ . x₂ = c/a

4. (x₁ + x₂)² = x₁² + 2(x₁ . x₂) + x₂²
     (x₁ + x₂)² - 2(x₁ . x₂) = x₁² + x₂²
Jadi, x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2(x₁ . x₂)

5. (x₁ + x₂)³ = x₁³+ 3x₁². x₂ + 3x₁ . x₂² + x₂³
       (x₁ + x₂)³ -  3x₁². x₂ + 3x₁ . x₂² = x₁³ + x₂³ 
              (x₁ + x₂)³ -  3x₁.x₂(x₁ + x₂)  = x₁³ + x₂³ 
Jadi, x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ -  3x₁.x₂(x₁ + x₂)

contoh soal!

1. Persamaan kuadrat -2x² +4x-5=0 akar2nya α dan β

    Tentukan : a.  α + β                 d. α³ + β³

                        b. α . β                    e. 1/α + 1/β

                        c. α² + β²                f. 1/(α+2) + 1/(β+2)

   Jawaban :

   a. α + β     = -b/a = 2

   b. α . β      = c/a   = 5/2

   c. α² + β² = (α + β)² - 2(α . β)

                    = 2² - 2.5/2

                    = 4 - 5

                    = -1

   d. α³ + β³ = (α + β)³ - 3α.β (α+β )

                    = 2³  - 3.5/2.2

                    = 8 - 15

                    = -7

   e. 1/α + 1/β = (α + β) / αβ

                        = 2 / (5/2)

                        = 4/5

   f. 1/(α+2) + 1/(β+2) = {(α+2) + (β+2)} / {(α+2) (β+2)}

                                      = {(α+β) + 4} / {α.β + 2(α+β) + 4}

                                      = (2+4) / (5/2 + 2.2 + 4)

                                      = 6 / (21/2)

                                      = 12/21 

                                      = 4/7

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru 

Ada 2 cara untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar2nya x₁ dan x₂ yaitu,

1. (x - x₁) (x - x₂) = 0

Contoh soal : Susunlah Persamaan kuadrat baru yang akar2nya adalah

a. 2 dan 7 => PKB = (x - 2) (x -7)

                                  = x² - 9x +14

b. -3 dan -4 => PKB = {x-(-3)} {x-(-4)}

                                    = (x+3) (x+4)

                                    = x² + 7x + 12

c. -7 dan 2 => PKB = {x-(-7)} (x-2)

                                   = (x+7) (x-2)

                                   = x² + 5x - 14

d. 5 dan -2 => PKB = (x-5) {x-(-2)}

                                   = (x-5) (x+2)

                                   = x² - 3x - 10

2. x² - (x₁ + x₂)x + x₁.x₂ = 0

 Contoh soal : 

1. Susunlah Persamaan Kuadrat baru yang akar2nya adalah 2+√5 dan 2-√5!

    Jawaban :  x₁ + x₂ = (2+√5) +(2-√5) = 4 

                            x₁.x₂ = (2+√5) (2-√5)  = -1

    Jadi, PKB => x² - (x₁ + x₂)x + x₁.x₂ = 0

                       =>                    x² - 4x - 1 = 0

2. x₁ dan x₂ adalah akar2 persamaan kuadrat  x² - 2x + 5 = 0. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar2nya 3 lebihnya dari akar2 persamaan kuadrat yang diletahui.

Jawaban  : x₁ + x₂ = -b/a = 2 dan x₁.x₂ = c/a = 5

                     x₁ = (x₁ + 3) dan x₂ = (x₂ + 3)

maka, x₁ + x₂ = (x₁ + 3) + (x₂ + 3)                  dan             x₁.x₂ = (x₁ + 3) (x₂ + 3)     

                         = (x₁ + x₂) + 6                                                       = x₁.x₂ + 3(x₁+x₂) + 9

                         = 2 + 6                                                                   = 5 + 3.2 + 9

                         = 8                                                                          = 20

Jadi, PKB => x² - (x₁ + x₂)x + x₁.x₂ = 0

                    =>                x² - 8x + 20 = 0

                    * Deskriminan (D) => D = b² - 4ac *

untuk menentukan jenis akar2 persamaan kuadrat, rumusnya :

a. D = 0 => Mempunyai 2 akar yang sama

b. D < 0 => Tidak mempunyai akar nyata (akar2nya imajiner)

c. D ≥ 0 => Mempunyai 2 akar nyata

d . D > 0 => Mempunyai 2 akar nyata dan berlawanan

Contoh Soal :

1. Tentukan nilai k agar persamaan kuadrat kx² + 3x + k = 0 mempunyai 2 akar sama/kembar

    Jawaban : Syarat akar kembar D = 0, maka

                        b² - 4ac = 3² - 4.k.k

                                     0 = 9 - 4k²

                                 4k² = 9

                                     k = √(9/4)

                        k = ± 3/2

2. Tentukan m agar persamaan kuadrat berikut x² - 2x + (m+1) = 0 Tidak mempunyai akar nyata.

     Jawaban : Syarat tidak mempunyai akar nyata D < 0, maka

                                 b² - 4ac < 0

                       2² - 4.1.(m+1) < 0

                               4 - 4m - 4 < 0

                                    0 - 4m < 0

                                       - 4m < 0

                                            m > 0

3. Tentukan P agar persamaan kuadrat x² + px + p = 0 mempunyai 2 akar real dan berbeda.

     Jawaban : Syarat akar real dan berbeda D > 0, maka

                             b² - 4ac > 0

                           p² - 4.1.p > 0

                               p² - 4p > 0

                              p(p - 4) > 0 

    Jadi, p < 0 dan p > 4